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已知抛物线,双曲线,椭圆都过点M(1,2),他们在x轴上有共同焦点,椭圆和双曲线的对称轴是坐标轴.求三条曲线的方程.

2017-03-25

已知抛物线,双曲线,椭圆都过点M(1,2),他们在x轴上有共同焦点,椭圆和双曲线的对称轴是坐标轴.
求三条曲线的方程.

优质解答

设抛物线的方程为y^2=2px,根据已知得2^2=2p*1,所以p=2
抛物线的焦点坐标为(1,0),设椭圆的方程为x^2/a^2+y^2/b^2=1
则有a^2-b^2=c^2=1,(1)又椭圆过点M(1,2),所以1/a^2+4/b^2=1(2)
解(1)(2)两式组成的方程组得
a=根号2+1
b=根号(2+2根号2)
所以椭圆的方程为x^2/(根号3+2根号2)+y^2/(2+根号2)=1
设双曲线方程为x^2/a^2-y^2/b^2=1
则有a^2+b^2=c^2=1(3)
又双曲线过点(1,2),所以1/a^2-4/b^2=1(4)
解(3)(4)组成的方程组得
a=根号2-1
b=根号(2根号2-2)
所以双曲线方程为x^2/(3-2根号2)-y^2/(2根号2-2)=1