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f(x)=e-x(x2-3x+1),若对于任意m,n∈[12,+∞),|f(m)-f(n)|<a恒成立,a的取值范围是()A.(5e4+12e,+∞)B.(5e4-12e,+∞)C.(5e4+1e,+∞)D.(-1e,5e4)

2019-06-25

f(x)=e-x(x2-3x+1),若对于任意m,n∈[

1
2
,+∞),|f(m)-f(n)|<a恒成立,a的取值范围是(  )

A. (

5
e4
+
1
2
e
,+∞)

B. (

5
e4
-
1
2
e
,+∞)

C. (

5
e4
+
1
e
,+∞)

D. (-

1
e
5
e4

优质解答

∵f(x)=e-x(x2-3x+1),
∴f′(x)=e-x(-x2+5x-4)=-e-x(x-1)(x-4),
∴当x<1时,f′(x)<0,f(x)是减函数,
1<x<4时,f′(x)>0,f(x)是增函数,
x>4时,f′(x)<0,f(x)是减函数;
又x→+∞时,f(x)→0,
∴x∈[
1
2
,+∞)时,f(x)min=f(1)=e-1×(1-3+1)=-
1
e

f(x)max=f(4)=e-4×(16-12+1)=
5
e4

∴对于任意m,n∈[
1
2
,+∞),|f(m)-f(n)|<a恒成立,
∴a>
5
e4
-(-
1
e
)=
5
e4
+
1
e

即a的取值范围是(
5
e4
+
1
e
,+∞).
故选:C.