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半圆内接梯形,梯形一边刚还是半圆直径,求梯形面积最大值?

2017-03-25

半圆内接梯形,梯形一边刚还是半圆直径,求梯形面积最大值?

优质解答

因为 梯形 ABCD内接于半圆 不妨设AB CD分别为下底和上底 很显然能内接必有AB//CD 若固定CD 任意在半圆内移动AB 容易看出当AB为直径时 梯形 的 面积 会越来越大 接着固定AB为直径 移动CD 显然高也随着变动 不妨设上底上为2x 则高为根号(R^2-x^2) 则有S=1/2*(2R+2x)*根号(R^2-x^2) 令x=Rsint t属于(0,派/2)即S=R^2*(1+sint)*cost 对其求导 S'=R^2*(-sint+cost*cot-sint*sint)令S'=0 则有-sint+1-sint^2-sint^2=0 sint=1/2( sint=-1舍去)故有x=R/2 即上底为R 下底为2R 高为(根号3)R/2S 最大 为3(根号3)R^2/4