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二次函数y=ax2+bx+4的图象与x轴交于两点A、B,与y轴交于点C,且A(-1,0)、B(4,0)(1)求此二次函数的表达式(2)如图1,抛物线的对称轴m与x轴交于点E,CD⊥m,垂足为D,点F(-76,0),动

2019-06-25

二次函数y=ax2+bx+4的图象与x轴交于两点A、B,与y轴交于点C,且A(-1,0)、B(4,0)
(1)求此二次函数的表达式
(2)如图1,抛物线的对称轴m与x轴交于点E,CD⊥m,垂足为D,点F(-
7
6
,0),动点N在线段DE上运动,连接CF、CN、FN,若以点C、D、N为顶点的三角形与△FEN相似,求点N的坐标
(3)如图2,点M在抛物线上,且点M的横坐标是1,点P为抛物线上一动点,若∠PMA=45°,求点P的坐标.
作业帮

优质解答

(1)当x=0时,y=4,
∴C(0,4).
设抛物线的解析式为y=a(x+1)(x-4),将点C的坐标代入得:-4a=4,解得a=-1,
∴抛物线的解析式为y=-x2+3x+4.
(2)x=-
b
2a
=
3
2

∴CD=
3
2
,EF=
8
3

设点N的坐标为(0,a)则ND=4-a,NE=a.
当△CDN∽△FEN时,
EM
DN
=
EF
CD
,即
a
4-a
=
′16
9
,解得a=
64
25

∴点N的坐标为(0,
64
25
).
当△CDN∽△NEF时,
CD
NE
=
DN
EF
,即
3
2
a
=
4-a
8
3
,解得:a=2.
∴点N的坐标为(0,2).
综上所述,点N的坐标为(0,
64
25
)或(0,2).
(3)如图所示:过点A作AD∥y轴,过点M作DM∥x轴,交点为D,过点A作AE⊥AM,取AE=AM,作EF⊥x轴,垂足为F,连结EM交抛物线与点P.
作业帮
∵AM=AE,∠MAE=90°,
∴∠AMP=45°.
将x=1代入抛物线的解析式得:y=6,
∴点M的坐标为(1,6).
∴MD=2,AD=6.
∵∠DAM+∠MAF=90°,∠MAF+∠FAE=90°,
∴∠DAM=∠FAE.
在△ADM和△AFE中,
∠D=∠AFE=90°
∠DAM=∠FAE
AM=AE

∴△ADM≌△AFE.
∴EF=DM=2,AF=AD=6.
∴E(5,-2).
设EM的解析式为y=kx+b.
将点M和点E的坐标代入得:
k+b=6
5k+b=-2
,解得k=-2,b=8,
∴直线EM的解析式为y=-2x+8.
将y=-2x+8与y=-x2+3x+4联立,解得:x=1或x=4.
将x=4代入y=-2x+8得:y=0.
∴点P的坐标为(4,0).