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如图,△ABC、△CDE都是等边三角形,且点A、C、E在一条直线上,AD与BE、AD与BC、BE与CD分别交于点O、点P、点Q.求证:(1)AD=BE,AP=BQ;(2)∠AOB=60°,OC平分∠AOE;(3)PQ∥AE;(4)△CPQ为

2019-06-25

如图,△ABC、△CDE都是等边三角形,且点A、C、E在一条直线上,AD与BE、AD与BC、BE与CD分别交于点O、点P、点Q.求证:
作业帮
(1)AD=BE,AP=BQ;
(2)∠AOB=60°,OC平分∠AOE;
(3)PQ∥AE;
(4)△CPQ为等边三角形;
(5)
1
PQ
=
1
AC
+
1
CE

优质解答

证明:(1)∵△ABC和△CDE都是等边三角形,
∴AC=BC,CE=CD,∠ACB=∠ECD=60°,
∴∠ACB+∠ACE=∠ECD+∠ACE,
即∠BCE=∠ACD,
在△BCE和△ACD中,
BC=AC
∠BCE=∠ACD
CE=CD

∴△BCE≌△ACD(SAS),
∴AD=BE,∠CAP=∠BCQ,
在△ACP和△BCQ中,
∠BCQ=∠ACP
AC=BC
∠CAP=∠CBQ

∴△ACP≌△BCQ(ASA),
∴AP=BQ;
(2)∵∠AOB+∠ABO+∠BAO=180°,∠OBC=∠CAO
∴∠AOB+∠ABC+∠BAC=180°,
∴∠AOB=60°,
∵∠EOD+∠EDO+∠OED=180°,
∴∠ODC+∠DEO=60°,
∴∠ODC=∠CEO,
同理∠OCD=∠DEO,
∴∠COE=60°,
∴OC平分∠AOE;
(3)∵∠PQD+∠DPQ+∠PDQ=180°,
∵∠DPQ=∠DEO,∠PDQ=∠CEO,
∴∠DPQ+∠PDQ=60°
∴∠PQD=∠ACD=120°,
∴PQ∥AE,
(4)∵PQ∥AE
∴∠CPQ=∠ACB=60°,
∵∠PCQ=60°,
∴△CPQ为等边三角形;
(5)∵PQ∥AE,
QP
AC
=
DQ
CD
=
CD-QC
CD

∵CD=CE,CQ=PQ,
QP
AC
=
CE-PQ
CE
QP
AC
=1-
PQ
CE

两边同时除PQ得
1
PQ
=
1
AC
+
1
CE