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已知线性方程组x1+x2-2x3+3x4=02x1+x2-6x3+4x4=-13x1+2x2+px3+7x4=-1x1-x2-6x3-x4=t.,讨论参数p,t取何值时,方程组有解、无解;当有解时,试用其导出组的基础解系表示通解.

2019-03-15

已知线性方程组
x1+x2-2x3+3x4=0
2x1+x2-6x3+4x4=-1
3x1+2x2+px3+7x4=-1
x1-x2-6x3-x4=t.
,讨论参数p,t取何值时,方程组有解、无解;当有解时,试用其导出组的基础解系表示通解.

优质解答


对增广矩阵作初等变换,有:
.
A
=
11-230
21-64-1
32p7-1
1-1-6-1t
11-230
0-1-2-2-1
0-1p+6-2-1
0-2-4-4t
11-230
 1221
  p+800
    t+2


①当t≠-2时,r(A)≠r(
.
A
),故方程组无解,
②当t=-2时,无论p取何值,恒有r(A)=r(
.
A
),故方程组有解,
③若p≠-8且t=-2,则r(A)=r(
.
A
)=3,
此时,
.
A
 
1001-1
 1021
  100
    0

取x4为自由变量,容易得通
η=(-1,1,0,0)T+k(-1,-2,0,1)T,其中k为任意常数,
④若p=-8且t=-2,则:r(A)=r(
.
A
)=2,
此时,
.
A
 
10-1-1
 1221
  000
    0

取x3和x4为自由变量,得通
η=(-1,1,0,0)T+k1(4,-2,1,0)T+k2(-1,-2,0,1)T,其中k1,k2为任意常数.