首页  >    数学

设由正整数构成的数列{an}满足a(10k-9)+a(10k-8)+...+a10k≤19对一切k∈N*恒成立记该数列若干连续项的和a(i+1)+a(i+2)+...+aj为S(i,j),其中i,j∈N*,且i

2019-06-30

设由正整数构成的数列{an}满足a(10k-9)+a(10k-8)+...+a10k≤19对一切k∈N*恒成立
记该数列若干连续项的和a(i+1)+a(i+2)+...+aj为S(i,j),其中i,j∈N*,且i

优质解答

令n=1,2,3,有 {1×20=b12×21=b1C21+b2C223×22=b1C31+b2C32+b3C33,
即 {b1=12b1+b2=43b1+3b2+b3=12,
解得 b1=1,b2=2,b3=3.由此猜想:bn=n(n∈N*).(4分)
下面证明:Cn1+2Cn2+3Cn3+…+nCnn=n•2n-1.
解法一:设Sn=Cn1+2Cn2+3Cn3+…+nCnn
有 Sn=0Cn0+Cn1+2Cn2+3Cn3+…+nCnn
又Sn=nCnn+(n-1)Cnn-1+(n-2)Cnn-2+…+0•Cn0--------------8分
两式相加2Sn=n(Cn0+Cn1+Cn2+…+Cnn)=n•2n--------------10分
故Sn=n•2n-1,n•2n-1=Cn1+2Cn2+3Cn3+…+nCnn--------------12分
解法二:构造函数f(x)=(1+x)n,(n∈N*),由二项式定理知:
f(x)=(1+x)n=Cn0+Cn1x+Cn2x2+…+Cnnxn--------------8分
f′(x)=n(1+x)n-1=Cn1+2Cn2x+3Cn3x2+…+nCnnxn-1--------------10分
令x=1,即得n•2n-1=Cn1+2Cn2+3Cn3+nCnn--------------12分
解法三:(1)n=1,成立.-----------------5分
(2)假设n=k时等式成立,即Ck1+2Ck2+3Ck3+…+kCkk=k•2k-1
当n=k+1时,
Ck+11+2Ck+12+…+kCk+1k+(k+1)Ck+1k+1
=(Ck0+Ck1)+2(CK1+CK2)+…+k(Ckk-1+Ckk)+(k+1)----------8分
=(Ck0+2Ck1+3Ck2+…+kCkk-1)+(Ck1+2Ck2+…+3Ck3+kCkk)+k+1
=(Ck0+Ck1+Ck2+…+Ckk-1)+[Ck1+2Ck2+…+(k-1)Ckk-1]+k•2k-1+k+1
=(2k-1)+[Ck1+2Ck2+…+(k-1)Ckk-1+kCkk]+k•2k-1+1=2k-1+k•2k-1+k•2k-1+1---(10分)
=(k+1)•2k
也就是说,当n=k+1时,等式也成立.
由(1)(2)可知,存在bn=n,
使得Cn1+2Cn2+3Cn3+…+nCnn=n•2n-1对一切n∈N*