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D是闭区域x2+y2

D是闭区域x2+y2
2017-03-25
优质解答
利用对称性:
因为D关于x轴和y轴都对称
所以∫∫D x dxdy = ∫∫D y dxdy = 0
==> ∫∫D (x + y + 1) dxdy
= ∫∫ dxdy
= πa²
或普通算法:
∫∫D (x + y + 1) dxdy
= ∫(0→2π) dθ ∫(0→a) (rcosθ + rsinθ + 1) * r dr
= ∫(0→2π) (sinθ + cosθ) dθ ∫(0→a) r² dr + ∫(0→2π) dθ ∫(0→a) r dr
= 0 + 2π * a²/2
= πa²
(其中∫(0→2π) (sinθ + cosθ) dθ等于0)